Wstęp do logiki - 21 X 2009

Def. 4.

(Nazwa w sensie szerokim) Nazwą nazywamy dowolne wyrażenie, które może wystąpić w roli podmiotu lub orzecznika w zdaniu podmiotowo-orzecznikowym, czyli zdaniu o budowie:

<podmiot> jest <orzecznik>

np.
Fido jest psem
Fido jest łagodny
Pies jest ssakiem

Dygresja.

Nazw nie utożsamiamy z rzeczownikami. Mogą nimi być też przymiotniki.

Def. 5.

Desygnatem danej nazwy nazywamy przedmiot oznaczany przez tę nazwę. Zbiór wszystkich desygnatów danej nazwy tworzy jej zakres.

np.

Pies: (nazwa)

obrazki psów (desygnaty)

zbiór wszystkich obrazków (zakres)

Desygnat nazwy może mieć ogromną ilość cech, z których jedne są ważne (z pewnego punktu widzenia), inne zaś nie. Tworzą one treść nazwy.

Def. 6.

Treść językowa (konotacja) nazwy to zbiór cech, które użytkownik języka używając tej nazwy przypisuje wszystkim jej możliwym desygnatom.

Pewne cechy przyszługuja desygnatom w sposób istotny (tj. konstytutywny), inne zaś w sposób pochodny (tj. konsekutywny).

np.
Za cechy konstytutywne nazwy „kwadrat” można uznać: czworoboczność, prostokątność i równoboczność; cechą konsekutywną jest np. równość przekątnych.

Dygresja.

Posiadanie przez nazwę treści nie zależy od posiadania przez nią desygnatów; jest tak w przypadku nazwy „krasnoludek”.

Nazyw można porównywać ze względu na stosunki między ich zakresami, jak i ze względu na stosunki między ich treściami.

Stosunki między zakresami nazw:

1. Stosunek zamienności:

zakresy nazw S i P są identyczne; np. statua – posąg.

do uzupełnienia obrazkami

2. Stosunek podrzędności:

nazwy S względem nazwy P - zakres nazwy S jest częścią właściwią (podzbiorem właściwym) zakresu nazwy P; np. wróbel – ptak.

do uzupełnienia obrazkami

3. Stosunek nadrzędności:

nazwy S względem nazwy P - zakres nazwy S zawiera zakres nazwy P jako część właściwą (jest nadzbiorem właściwym zakresu nazwy P); np. ssak – delfin.

do uzupełnienia obrazkami

4. Stosunek krzyżowania:

zakresy nazwy S i P mają niepuste przecięcie (tj. mają wspólne desygnaty); np. brunet – student.

do uzupełnienia obrazkami

5.Stosunek wykluczania:

przecięcie zakresów nazw S i P jest puste (brak wspólnych desygnatów); np. student – noga stołowa.

do uzupełnienia obrazkami

6. Stosunek wyczerpania:

zakresy nazwy S i P mają niepuste przecięcie, a przy tym wyczerpują uniwersum mowy (nie ma przedmiotów, które nie byłyby desygnatami któreś z tych nazw); jest to szczególny wariant stosunku krzyżowania; np. zwierzę – nie-słoń.

do uzupełnienia obrazkami

7.Stosunek dopełnienia:

zakresy nazw S i P mają puste przecięcie, a ich suma wyczerpuje uniwersum mowy; jest to szczególny wariant stosunku wykluczania; np. ożywiony – nieożywiony.

do uzupełnienia obrazkami

Podział nazw:

Ze względu na budowę: proste i złożone:

  • Nazwa prosta nie zawiera części – na ogół zbudowana jest tylko z jednego wyrazu, jak np. dom.
  • Nazwa złożona ma części – składa się z większej ilości wyrazów, np. stolica Polski.

Ze względu na liczbę desygnatów: puste, jednostkowe i ogólne:

  • Nazwa pusta to nazwa, która nie ma desygnatów. Jak np. syn bezdzietnej matki, kwadratowe koło.
  • Nazwa jednostkowa to nazwa mająca dokładnie jeden desygnat, jak np. Poznań, ojciec A. Mickiewicza.
  • Nazwa ogólna to nazwa mają ca więcej niż jeden desygnat, jak np. mieszkaniec Poznania, stół.

Ze względu na sposób wskazywania desygnatów: generalne i indywidualne:

  • Nazwa generalna to nazwa przysługująca ze względu na cechy, jakie są mu przypisywane, jak np. kwadrat, najwyższy szczyt świata.
  • Nazwa indywidualna to nazwa przysługująca jakiemuś przedmiotowi ze względu na ustanowienie, że przedmiot ten tak właśnie będzie nazywany, jak np. Poznań, Zenobiusz.

Dygresja.

Nazwy zarazem złożone, generalne i jednostkowe to deskrypcje.

Ze względu na rodzaj desygnatów: konkretne i abstrakcyjne:

  • Nazwa konkretna to nazwa, której desygnatami są osoby, rzeczy i coś, co sobie jako osobę lub rzecz wyobrażamy, jak np. Adam Mickiewicz, krasnoludek, krzesło.
  • Nazwy abstrakcyjne to nazwy przedmiotów abstrakcyjnych, a więc cech, stosunków, zdarzeć, etc. np. białość, cisza, przyjaźń.

Ze względu na strukturę wewnętrzną desygnatów: zbiorowe i niezbiorowe:

  • Nazwa zbiorowa to nazwa, której desygnatem jest jakiś agregat, czyli całość złożona z poszczególnych przedmiotów-części, jak np. las (jako agregat drzew), biblioteka (jako kolekcja książek), łańcuch (jako agregat ogniw).
  • Nazwa niezbiorowa to nazwa, której desygnaty są przedmiotami prostymi (niezłożonymi), jak np. stół.

Nazwy mogą być ostre lub nieostre w zależności od tego czy o każdym napotkanym przedmiocie jesteśmy w stanie rozstrzygnąć, czy jest, czy nie jest jej desygnatem.

Obrazek. Uzupełnić.

Dygresja.

Nazwy nieostre sprawiają niekiedy trudności. Znamiennymi przykładami są tu tzw. paradkos łysego oraz paradoks Wanga.

Paradoks łysego. Rozumując inutincyjnie jesteśmy skłonni uznać następujące dwa zdania:

1.Ktoś kto ma 100000 włosów nie jest łysy.
2.Ten, kto ma o jeden włos mniej niż ktoś, kto nie jest łysy, również nie jest łysy.

Uszeregujmy teraz ludzi w takim porządku, że na czele stanie, ktoś o najbujniejszej czuprynie, np. ktoś, kto ma 100000 włosów. Dalej w szeregu tym będzie stał ktoś, kto ma o jeden włos mniej, a więc też niełysy, itd. Jeżeli w tym szeregu ustawimy 100001 ludzi, to ostatni nie będzie miał ani jednego włosa. Ale nie jest on łysy, gdyż w tym szeregu obok siebie stoją ludzie różniący się tylko o jeden włos. Zgodnie z regułą (2), jeżeli poprzedni w szeregu człowiek jest niełysy, to następujący po nim też jest niełysy. Aby odrzucić konkluzję, że człowiek całkowicie pozbawiony włosów jest niełysy, trzeba arbitalnie przyjąć, że w pewnym miejscu szeregu zaczynają się ludzie łysi, tj. odrzucić założenie (2), czyli nazwę „łysy” uczynić ostrą.

Paradoks Wanga. Opierając rozumowanie na przesłankach:

1. 0 jest libczą małą.
2. Jeżeli n jest liczbą małą, to n+1 też jest liczbą małą (dla dowolnego n).

łatwo dojść do wniosku, że np. liczba 10^39 (jeden sekstyliard) jest liczbą małą.

Dygresja.

(Przyczynowa teoria nazw własnych S. Kripkego). W jaki sposób w aktach komunikacji za pomocą nazw własnych odnosimy się do przedmiotów? Czy dla funkcji desygnowania trzeba przyjąć dodatkowo coś takiego jak treść nazwy?

Oto kilka tradycyjnych odpowiedzi:

Nazwy własne nie mają konotacji; są przyporządkowane nie przedmiotom, lecz ich wyobrażeniom (J. S. Mill).
Odniesienie przedmiotowe nazwy własnej dane jest za pomocą deskrypcji (G. Frege, B. Russell) lub wiązki deskrypcji (L. Wittgenstein, J. R. Searle) skojarzonych z tą nazwą.

Zdaniem S. Kripkego:

Posługiwanie się nazwami ma charakter kolektywny (społeczny).
Wiedza (przekonania) pojedynczego użytkownika języka nie musi wcale wyznaczać odniesienia przedmiotowego nazw w jego idiolekcie (krytyka teorii deskrypcjnej). Odniesienie przedmiotowe nazw ustalne jest dzięki łańcuchowi komunikacyjnemu, tzw. „łańcuhowi przyczynowemu”, który łączy obecne używanie nazwy (przez danego rozmówcę) z określonym zdarzeniem wprowadzającym tzw. „pierwotnym aktem chrztu”, będącym ceremonią nadawania imienia obiektowi. Łańcuch ów zapewnia transmisję odniesienia przedmiotowego nazwy od użytkkownika do użytkownika języka. BRAK
Nazwy własne są „sztywnymi desygnatorami” (an. Rigid designators), to znaczy odnoszą się do tego samego przedmiotu w każdym możliwym świecie, w którym ten przedmiot istnieje. Nazwa „Arystoteles” odnosi się do Arystotelesa w każdym możliwym świecie, w którym on istnieje, aczkolwiek w niektórych możliwych światach Arystoteles ie jest nauczycielem Aleksandra Wielkiego, ani nawet filozofem. Nazwa własna oznacza dany przedmiot nawet w idiolekcie osoby, która nie posiada żadnych prwadziwych przekonań o tym przedmiocie. Deksrypcje nie są sztywnymi desygnatorami, ponieważ w innym niż nasz świecie możliwtm mogą odnosić się do innego niż w naszym świecie obiektu.

Semiotyka: język – zdania.

Sformułowanie ścisłej definicji zdania i zarazem na tyle uniwersalnej, by mogła się ona odnieść do każdego języka jest przedwsięzieciem niewykle trudnym. Ogólnie można powiedzieć, że zdanie to jednostka komunikacji. Mówiąc tu o zdaniach będziemy mieli na myśli zdania w sensie logicznym (zdaniami tego typu nie są ani pytania, ani rozkazy). W logice klasycznej przyjmuje się założenie, zwane zasadą dwuwartościowści:

Każde zdanie ma dokładnie jedną z dwu wartości logicznych – albo prawdę, albo fałsz.

Dygresja. Zasada ta zdaje się odbiegać od potocznych intuicji – często zdania wydają się nie mieć żadnej wartości logicznej, tzn. nie być ani prawdziwe, ani fałszywe. Wątpliwości te miał już Arystoteles, który rozważał zdania dotyczące przyszłości niezdeterminowanej, np. Jutro Zenek spotka Ziutę. Było to jednym z motywów zbudowania tzw. logik wielowartościowych.

Można spotkać się też ze stanowiskiem dopuszczającym istnienie zdań zarazem prawdziwych i fałszywych (tj. nadokreślonych, paradoksalnych).

Jak w przypadku nazw, tak i zdań możemy zapytać:

A. Co oznaczają zdania?
B. Co jest treścią zdań?

W kwestii (A) można wyróżnić dwie odpowiedzi, leżące u podstaw dwóch różnych rodzajów semantyk:

A1. Zdania oznaczają wartości logiczne (G.Frege) → semantyka wartości logicznych;
A2. Zdania oznaczają stany rzeczy, sytuacyje (L. Wittgenstein) → semantyka sytuacyjna.

Przyjmujemy tu, że zdania oznaczają wartości logiczn i opisują stany rzeczy.

W kwestii (B), o zdaniach, które mają to samo znaczenie (tj. treść) zwykło się mówić, że wyrażają ten sam sąd.

Odróżnia się:

Sąd w sensie logicznym: informacja przekazywana przez dane zdanie o jakimś stanie rzeczy, np. że pewien przedmiot posiada pewną cechę (jak w zdaniu: Ziemia jest kulista).
Sąd w sensie psychologicznym: myśl żywiona przez kogoś w związku z danym zdaniem.

Tutaj sąd rozumiemy w sposób pierwszy – jako pewien byt pozaumysłowy, abstrakcyjny. Rózne zdania mogą wyrażać ten sam sąd logiczny, np.

Ewa kusi Adama.
Adam jest kuszony przez Ewę.
Eve tempts Adam.

Dygresja. Wg niektórych filozofów sądy (w sensie logicznym) to podstawowe nośniki prawdy i fałszu, zdania zaś są prawdziwe lub fałszywe tylko w sensie pochodnym – ze względu na to, że wyrażają prawdziwe lub fałszywe sądy.

Niezależnie od tego, że ustalenie wartości logicznej zdań może sprawiać kłopoty, warto zauważyć, że prawda (lub fałsz) wydają się przysługiwać zdaniom w różny sposób. Dla oceny pewnych zdań nie jest potrzebny kontakt poznawczy z rzeczywistością. Wyróżnamy dwa rodzaje tego typu zdań:

Def. 7.

Zdanie analityczne to zdanie, które jest prawdziwe na mocy swej struktury i znaczenia występujących w nim wyrażeń.

np. Analitycznymi są zdania:

Kwadrat ma cztery boki.
Poznań leży nad Wartą lub nie leży nad Wartą.

Def. 8.

Zdanie kontradyktoryczne (wewnętrznie sprzeczne) to zdanie, które jest fałszywe na mocy swej struktury i znaczenia występujcych w nim wyrażeń.

np. Kontradyktorycznymi są zdania:

Trójkąt ma cztery boki
Poznań leży nad Wartą i zarazem nie leży nad Wartą.

W przypadku pozostałych zdań taki kontakt poznawczy jest potrzebny: uzyskują one wartość logiczną zdależnie od okoliczności zewnętrznych towarzyszących ich wypowiedzeniu.

Def. 9.

Zdanie syntetyczne to zdanie, którego stwierdzenie prawdziwości lub fałszywości wymaga kontaktu poznawczego z rzeczywistością.

np. Zdaniem syntetycznym jest:

Poznań leży nad Wartą.

W. V. O. Quine negował istnienie podziału na zdania syntetyczne i kontrakd…

Spójniki służą do budowy zdań złożonych.

uzupełnić obrazkiem

Jeżeli wartość logiczna zdania A jest określona, to tym samym zgodnie z utalnym w języku polskim znaczeniem wyrażenia „nieprawda, że” określona jest też wartość logiczna zdania „Nieprawda, że A”. O spójniku tym mówimy, że jest ekstencjonalny.

Def. 10.

Spójnik ekstensjonalny (prawdziwościowy) charakteryzuje się tym, że wartość logiczna zdania złożonego utworzonego przy jego pomocy zależy rtlko i wyłącznie od wartości logicznych zdań składowych.

W przypadku niektórych innych spójników, zwanych intensjonalnymi, sprawa wygląda inaczej.
Dwa różne zdania A, B mimo że mają tę samą wartość logiczną, poprzedzone np. jednym ze zwrotów „wiadomo, że”, „myślę, że”, „z konieczności” mogą mieć różne wartości logiczne. Zależy to od treści tych zdań, od tego kto je wypowiada itp. np. zdarza się, że zdania A i B są fałszywe BRAK

np.

Możliwe, że A
Możliwe, że B

są różne; jest tak, gdy jedno z nich jest wewnętrznie sprzecznie, a drugie tylko przypadkowo fałszywe (opisuje coś, co tylko przypadkowo nie zachodzi); np.

- Możliwe, że istnieje kwadrat o polu równym z kołem. (Fałszywe)
- Możliwe, że Sokrates był piekarzem. (Możliwe, że prawdziwe)

Z podobych względów spójnik „i” wzięty w jednym ze swych potocznych znaczeń, mianowicie w znaczeniu „a potem”, nie jest ekstensjonalny. Łatwo się o tym przekonać zauważając, że zmiana kolejności argumentów może zasadniczo wpłynąć na wartość logiczną zdania, np.

Wyszła za mąż i urodziła dziecko.
Uciekł i go zabili

Def. 11.

Spójnik intensjonalny to taki, że wartość logiczna zdania złożonego utworzonego przy jego pomocy zależy nie tylko od wartości logicznych zdań składowych, ale także od ich treści.

Dygresja.

Analizą spójników intensjonalnych zajmują się logiki modalne (aletyczne, epistemiczne, denotyczne, temporalne). Logika klasyczna ogranicza się do spójników ekstensjonalnych.

O ile nie zaznaczono inaczej, treść tej strony objęta jest licencją Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License